Zwei gleichseitige Dreiecke berühren sich, zwei Linien verbinden ihre Eckpunkte. In welchem Winkel schneiden sie sich?
Zeigen Sie, dass der gelb hervorgehobene Winkel, in dem sich beide Linien schneiden, immer gleich groß ist, egal wie die beiden Dreiecke zueinander gekippt sind!Der gelbe Winkel hat eine Größe von 120 Grad.
Die Lösung ist nicht allzu schwer, wenn Sie sich die Winkel auf der folgenden Skizze genauer anschauen. Die beiden Verbindungen zwischen den zwei Dreiecken teilen den 60 Grad großen Winkel links und rechts außen in zwei Winkel auf. In der folgenden Skizze sind diese beim Dreieck links rosa und dunkelrot gefärbt. Die Winkel sind zusammen 60 Grad groß.
Nun können wir uns die Innenwinkel des Dreiecks oben links genauer anschauen, das mit hellerer Farbe gefüllt ist. Ein Winkel ist rosa, der zweite setzt sich aus dem blauen 60-Grad-Winkel und einem dunkelrot gefärbten Winkel zusammen. Weil rosa und dunkelrot zusammen 60 Grad ergeben, muss der dritte Winkel rechts ebenfalls 60 Grad groß sein – nur dann beträgt die Summe über alle drei Innenwinkel 180 Grad. Dieser Winkel ist deshalb ebenfalls blau gekennzeichnet.
Der gesuchte gelbe Winkel ist dann einfach die Differenz aus 180 Grad und 60 Grad – also 120 Grad. Wir haben damit auch gezeigt, dass die konkrete Größe des roten und rosafarbenen Winkels keine Rolle spielt. Wichtig ist nur, dass beide zusammen stets 60 Grad ergeben.
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